猴博士-概率论与数理统计复习笔记

复习概率论,看的【猴博士爱讲课】4小时讲完《概率论与数理统计》/《概率论》/不挂科 ,因为视频不利于二次复习,所以做个详细点的听课笔记,如果文章有错误,请发邮件至i@laiczhang.com

本地用Typora与vscode均正常,但是hexo不能很好的渲染数学公式,部署到博客上不太美观。

在更新完后,如果需要md文件的可以在文末查看关键词。

一、事件的概率

1.无放回类题目

$$P = \frac{c ^{条件一取}{条件一总} \times c ^{条件一取}{条件一总} \times … \times c ^{条件一取}_{条件一总}}{c^取_总}$$

$$C^m_n = \frac{n!}{m! \cdot (n-m)}$$

(1)盒子中有4红3白共7个球,不用眼瞅,7个球摸起来一样,现无放回的摸4次,那摸出两个红球两个白球的概率是多少?

$$P=\frac{C^2_4 \times C^2_3} {C^4_7}$$

(2)隔壁山头共有11只母猴儿,其中有5只美猴儿、6只丑猴儿,在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高,我小弟冒死为我捞来5只,问天亮后,发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少?

$$P=\frac{C^2_5 \times C^3_6} {C^5_{11}}=\frac{100}{231}$$

2.有放回类题目

K种颜色的球,代号分别为$A_1、A_z…A_k$

抽一次,出现的概率分别为$p_1、p_2…p_k$

求摸出各种球的个数分别为$n_1、n_z…n_k$

$$p = \frac{(n_1 + n_2 + … + n_k)!}{n_1!n_2!…n_k!}P_1^{n_1}P_2^{n_2}…P_k^{n_k}$$

(1)盒子中有5红6白共11个球,不用眼瞅,11个球摸起来是一样的,现有放回的摸5次,那摸出两个红球三个白球的概率是多少?

解:

2种颜色的球,代号分别为红、白

抽一次,出现的概率分别为$\frac{5}{11}、\frac{6}{11}$

求摸出各种球的个数分别为2、3

$P = \frac{(2+3)!}{2!3!}(\frac{5}{11})^2(\frac{6}{11})^3$

(2)在小弟为我抓回的5只母猴儿中,有2美3丑,每天我都随机挑一只母猴儿来,为她抓虱子。
就这样,过去了101天,抓了101次虱子,问这101次中,为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少?

解:

2种母猴儿,代号分别为美、丑

选一只,出现概率分别为$\frac{2}{5}、\frac{3}{5}$

为2种服务次数分别为50、51

$P = \frac{(50+51)!}{50!51!} (\frac{2}{5})^{50} (\frac{3}{5})^{51}$

3.需要画图的题目

(1)已知0<x<1,0<y-1,求x>y的概率是多少?

①表现已知条件

②表现待求概率的条件

③找出①②重合部分

④$P(x>y)=\frac{③}{①}$

(2)已知小明会在0点之后1点之前到教室,小刚也是,问小明比小刚晚到的概率是多少?

设小明到教室时间为x,小刚为y

已知0<x<1,0<y<1,求x>y的概率是多少?

(3)已知-1<x<1,-1<y<1,求$x^2+y^2<1$的概率是多少?


解析:

①表现已知条件

②表现待求概率的条件

③找出①②重合部分

④$P(x^2 + y^2 < 1) = \frac { ③ }{ ① }$

解:
$$S_园 = π \times 1^2 = π$$

$$S_正 = 4$$

$$P(x^2+y^2<1) = \frac{π}{4}$$

4.条件概率

$$P(B \mid A) = \frac{ P(AB) }{ P(A) }$$

事件A:掷一次骰子,朝上点数大于3

事件B:掷一次骰子,朝上点数是6

P(B|A):掷一次骰子,已知朝上点数大于3,朝上点数是6的概率

P(AB):掷一次骰子,朝上点数是6的概率

P(A):掷一次骰子,朝上点数大于3的概率

(1)小明概率论考试得80分以上的概率是80%,得60分以上的概率是85%,已知这次考试小明概率论没挂,那么小明得80分以上的概率是多少?

事件A:小明得60分以上

事件B:小明得80分以上

P(B|A):小明得60分以上时,小明得80分以上的概率,即小明得80分以上的概率

$$P(B \mid A) = \frac{ P(AB) }{ P(A) } = \frac{ 0.8 }{ 0.85 }$$

(2)某地区今年会发生洪水的概率是80%,今明两年至少有一年会发生洪水的概率是85%,假如今年没有发生洪水,那么明年发生洪水的概率是多少?

事件A:今年没有发生洪水

事件B:明年发生洪水

P(BIA):今年没有发生洪水的情况下,明年发洪水的概率

$$P(B \mid A) = \frac{ P(AB) }{ P(A) } = \frac{ 0.05 }{ 0.2 }$$

5.全概率公式

A、B…等个体均可能发生某事,则

$$P(发生某事)=P(A出现)·P(A发生某事)+P(B出现)·P(B发生某事)…$$

(1)某高速公路上客车中有20%是高速客车,80%是普通客车,假设高速客车发生故障的概率是0.002,普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。

$$P(有客车发生故障)=P(高速客车出现)·P(高速客车故障)+P(普通客车出现)·P(普通客车故障)$$

$P(有客车发生故障)=0.2·0.002+0.8·0.01=0.0084$

(2)猴博士公司有猴博士与傻孢子两个员工,老板要抽其中一个考核,抽中猴博士与傻孢子的概率都是50%,猴博士考核通过的概率是100%,傻孢子考核通过的概率是1%,那么抽中的员工通过考核的概率是多少?

$$P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)·P猴博士通过)+P(傻孢子出现)·P(傻犯子通过)$$

$P(抽中的员工通过考核)=50%·100%+50%·1%=50.5%$

(3)又到了交配的季节,主人过两天就拉你去隔壁村找母驴配种,隔壁村有三头母驴,分别是白驴、黑驴和棕驴。她仁得你宠幸的概率分别是50%、20%、30%。小白屁股大能生,她能怀上你孩子的概率是80%。小黑太瘦小,能怀孕的概率是20%。小棕中规中矩,能下息的概率是50%。那么你能喜当爹的概率是多少?

A、0% B、59% C、47%

6.贝叶斯公式

A、B…等个体均可能发生某事,则

$$P(已知有个体发生某事时,是A发生的)= \frac{ P(A出现) \cdot P(A发生某事) }{ P(发生某事) } $$

(1)某高速公路上客车中有20%是高速客车,80%是普通客车,假设高速客车发生故障的概率是0.002,普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时,故障的是高速客车的概率。

$$P(已知有客车发生故障,是高速客车发生的)=\frac{0.2·0.002}{0.0084}=\frac{1}{21}$$

(2)猴博士公司有猴博士与傻孢子两个员工,老板要抽其中一个考核,抽中猴博士与傻孢子的概率都是50%,猴博士考核通过的概率是100%,傻孢子考核通过的概率是1%,求抽中的员工通过考核时,被抽中的员工是傻孢子的概率。

$$P(已知有员工通过考核,是傻孢子通过的)=\frac{0.5·0.1}{0.505}=\frac{1}{101}$$

二、一维随机变量

1.已知$F_X(x)$与$f_X(x)$中的一项,求另一项

$$f_X(x)=F_X{‘}(x)$$

$$F_X(x)=\int ^x _{-\infty}f_X(x)dx$$

例:设x的分布函数

$$F_X(x)=\begin{cases} 0,&x<1 \ lnx,&1 \leqslant x < e \ 1,&x \geqslant e\end{cases}$$

求X的密度函数$f_X(x)$

解:

$$f_X(x)=F_X{‘}(x)=\begin{cases}0’,&x<1 \ (lnx)’,&1 \leqslant x < e \ 1’,&x \geqslant e\end{cases}=\begin{cases}0,&x<1 \ \frac{1}{x},&1 \leqslant x < e \ 0,&x \geqslant e\end{cases}=\begin{cases}\frac{1}{x},&1 \leqslant x < e \ 0,&x 其他\end{cases}$$

例:设X的密度函数

$$f_X(x)=\begin{cases}-\frac{1}{2}x+1,&0 \leqslant x \leqslant 2 \ 0,&其他\end{cases}$$
求X的分布函数$F_X(x)$

解:

$$F_X(x) = \int^x _{- \infty} f_X(x) dx = \begin{cases} 0,&x<0 \ - \frac{x ^2}{4} + x,&0\leqslant x \leqslant 2 \ 1,&x>2 \end{cases} $$

2.已知$F_X(x)$与$f_X(x)$中的一种,求$P$

$$P(a<X<b) = F_X(b) - F_X(a) = \int^b_a f_X(x)dx ,不管P(a<X<b)中的<为<或 \leqslant,后面的部分均不变$$

例:设X的分布函数

$$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x<1 \ lnx,&1 \leqslant x < e \ 1, &e \leqslant x \end{cases} $$

,求概率$P(x^2<4)$.

解:

$P(x^2<4) $

$= P(-2 < x < 2) $

$= F_X(2) - F_X(-2) $

$= \ln 2 - 0 = \ln 2$

例:设X的密度函数

$$f_X(x) = \begin{cases} - \frac{1}{2}x + 1,&0 \leqslant x \leqslant 2 \ 0,&其他 \end{cases}$$

,求概率$P(-1<x<2)$

解:

$P(-1<x<2)$

$= \int ^2 _{-1} f_X(x)dx$

$= \int ^0 _{-1} f_X(x)dx + \int ^2 _{0} f_X(x)dx$

$= \int ^0_{-1} 0dx + \int ^2 _{0} (- \frac{1}{2} x + 1)dx$

$= 0+1 = 1$

3.$F_X(x)$或$f_X(x)$含有未知数,求未知数

$$F_X(- \infty) = 0$$

$$F_X(+ \infty) = 1$$

$$F_上(分段点) = F_下(分段点)$$

$$\int ^{+ \infty} _{- \infty} f_X(x)dx = 1$$

例1:设X的分布函数$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x \leqslant 0 \ a+be^{\lambda -x},&x>0 \end{cases} (\lambda >0)$,求a和b。

解:

由$F_X(+ \infty) = 0$得,

$a+be^{- \lambda \cdot (+\infty)}=1$

$a+be^{- \infty} = 1$

$a + \frac{b}{e^{+ \infty}} = 1$

$a=1$

由$F_上(分段点) = F_下(分段点)$得,

$F_上(0) = F_下(0)$

$0 = a + be^{- \lambda \cdot (0)}$

$0 = a + be^0$

$a+b=0$

$b=-1$

例2:设X的密度函数$f_X(x) = \begin{cases} ax+1,&0 \leqslant x \leqslant 2 \ 0,&其他 \end{cases}$,求常数a。

解:

由$\int ^{+ \infty} _{- \infty} f_X(x)dx = 1$得,

$\int ^0 _{- \infty} f_X(x)dx + \int ^2 _0 f_X(x)dx + \int ^{+ \infty} _2 f_X(x)dx = 1$

$\int ^0 _{- \infty} 0dx + \int ^2 _0 (ax+1)dx + \int ^{+ \infty} _2 0dx = 1$

$0 + 2a+2 + 0 = 1$

解得:$a=-\frac{1}{2}$

4.求分布律

从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只,用X表示从中取出的最大号码,求其分布律。

解:X可能的取值为3,4,5,6

$P(X=3)=\frac{1}{20}$

$P(X=4)=\frac{3}{20}$

$P(X=5)=\frac{3}{10}$

$P(X=6)=\frac{1}{2}$

分布列为:

X 3 4 5 6
P $\frac{1}{20}$ $\frac{3}{20}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{2}$

5.已知含有未知数分布列,求未知数

已知分布列如下,求k的值。

X 3 4 5 6
P $\frac{1}{20}$ $\frac{3}{20}$ $\frac{3}{10}$ k

解:$\frac{1}{20}+\frac{3}{20}+\frac{3}{10}+k=1$

解得$k=\frac{1}{2}$

三、一维随机变量的函数

1.已知X分布列,求Y分布列

已知X的分布列为

X -2 0 2
P 0.4 0.3 0.3

,求$Y=X^2+1$的分布列。

解:

①根据X的所有取值,计算Y的所有取值

$Y = (-2)^2 + 1 = 5$

$Y = 0^2 + 1 = 1$

$Y = 2^2 +1 = 5$

②将表格里X那一列对应换成Y

Y 5 1 5
P 0.4 0.3 0.3

整理可得,

Y 1 5
P 0.3 0.7

2.已知$F_X(x)$,求$F_Y(y)$

设X的分布函数为

$$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x\leqslant 0 \ x^2,&0<x<1 \ 1,&1 \leqslant x \end{cases}$$

,求Y=2X的分布函数。

解:

①写出X=?Y

$Y=2X$→$X = \frac{y}{2}$

②用?y替换$F_X(x)$中的x结果为$F_X(?y)$

$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x\leqslant 0 \ x^2,&0<x<1 \ 1,&1 \leqslant x \end{cases}$→$F_X(\frac{y}{2}) = \begin{cases} 0,&\frac{y}{2} \leqslant 0 \ \frac{y}{2}^2,&0 <\frac{y}{2}<1 \1,&1\leqslant \frac{y}{2} \end{cases}$

③判断$?y$中是否有负号,若无,则$F_Y(y) = F_X(?y)$,若有,则$F_Y(y)=1-F_X(?y)$

$F_Y(y) = F_X(\frac{y}{2}) = F_X(\frac{y}{2}) = \begin{cases} 0,&\frac{y}{2} \leqslant 0 \ \frac{y^2}{4},&0 <\frac{y}{2}<1 \1,&1\leqslant \frac{y}{2} \end{cases} $

##

设X的分布函数为

$$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x \leqslant 0 \ x^2,&0<x<1 \ 1,&1\leqslant x \end{cases}$$

,求$Y=-X$的分布函数。

解:

①写出X=?Y

$Y=-X$ → $X=-Y$

②用?y替换$F_X(x)$中的$x$结果为$F_X(?y)$

$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x \leqslant 0 \ x^2,&0<x<1 \ 1,&1\leqslant x \end{cases}$→$F_X(-y) = \begin{cases} 0,&-y \leqslant 0 \ (-y)^2,&0<-y<1 \ 1,&1\leqslant -y \end{cases}$

③判断$?y$中是否有负号,若无,则$F_Y(y) = F_X(?y)$,若有,则$F_Y(y)=1-F_X(?y)$

$F_Y(y) = 1-F_X(-y) = \begin{cases} 1,&-y \leqslant 0 \ 1-y^2,&0<-y<1 \ 0,&1 \leqslant -y \end{cases}$

3.已知$f_X(x)$,求$f_Y(y)$

设X的密度函数为$f_X(x)=\begin{cases} 1,&0<x<1 \ 0,&其他 \end{cases}$,求$Y=2X$的密度函数。

解:

①写出X=?Y

$Y=2X$ →$X=\frac{Y}{2}$

②用$?y$替换$f_X(x)$中的$x$,结果为$f_X(?y)$

$f_X(x)=\begin{cases} 1,&0<x<1 \ 0,&其他 \end{cases}$→$f_X(\frac{y}{2})=\begin{cases} 1,&0<\frac{y}{2}<1 \ 0,&其他 \end{cases}$

③令$f_Y=(?y)’ \cdot f_X(?y)$

$f_Y=(\frac{y}{2})’ \cdot f_X(\frac{y}{2})=\frac{1}{2} \cdot f_X(\frac{y}{2})=\begin{cases} \frac{1}{2},&0<y<2 \ 0,&其他 \end{cases}$

④判断$?y$中是否有负号$\begin{cases}若无,&则f_Y=f_Y \ 若有,&则f_Y(y)=-f_Y \end{cases}$

$f_Y(y)=f_Y=\begin{cases} \frac{1}{2},&0<y<2 \ 0,&其他 \end{cases}$

四、常见的五种分布

1.符合均匀长度,求概率

$$P=\frac{满足要求长度}{总长度}$$

设X在[2,5]上服从均匀分布,求X的取值大于3 的概率。

总长度:3

大于3的长度:2

$P(X的取值大于3)=\frac{2}{3}$

2.符合泊松分布,求概率

$$P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}$$

某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布,求在一分钟内呼叫次数为2次的概率。

解:X表示一分钟接到呼叫的次数

$P(X=2)=\frac{5^2}{2!}e^{-5} = 0.0842$

3.符合二项分布,求概率

$$P(X=x)=C^x_np^x(1-p)^{n-x}$$

重复投5次硬币,求正面朝上次数为3次的概率。

解:x=3,n=5,p(正面朝上)=$\frac{1}{2}$

$P(x=3)=C^3_5(\frac{1}{2}^3)(1-\frac{1}{2})^{5-3} = \frac{5}{16}$

在2红1绿三个球中有放回地摸3次,求摸到红球次数为2次的概率。

解:x=2,n=3,P(摸到红球)=$\frac{2}{3}$

$P(x=2)=C^2_3(\frac{2}{3})^2(1-\frac{2}{3})^{3-2}=\frac{4}{9}$

4.符合指数分布,求概率

$$f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x>0 \ 0,&x\leqslant 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} P(a_1 < x < a_2) =\int^{a_2}{a_1} f(x)dx \ P(X<a)=\int^a{-\infty} f(x)dx \P(x>a)=\int^{+ \infty}_a f(x)dx \end{cases}$$

某种电子元件的使用寿命x(单位:小时)服从$\lambda = \frac{1}{2000}$的指数分布。
求:(1)一个元件能正常使用1000小时以上的概率;
(2)一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。

解:X的密度函数为$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2000}e^{-\frac{x}{2000}},&x>0 \0,&x \leqslant 0 \end{cases}$

(1)$P(X>1000)=\int^{+ \infty}{1000}f(x)dx=\int^{+ \infty}{1000} \frac{1}{2000}e^{-\frac{x}{2000}}dx=e^{-0.5}$

(2)$P(1000<X<2000)=\int^{2000}{1000} f(x)dx=\int^{2000}{1000} \frac{1}{2000}e^{\frac{x}{2000}} dx=-e^{-1}+e^{0.5}$

5.符合正态分布,求概率

$$\begin{cases} P(a<X<b)=\phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) \ P(X<a) = \phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) \ P(X>b) = 1-\phi(\frac{b-\mu}{\sigma}) \end{cases}$$

设随机变量X服从正态分布N(1.5,4),求:(1)P(1.5<x<3.5);(2)P(X<3.5)。
[其中:$\phi(0)=0.5,\phi(0.75)=0.7734,\phi(1)=0.8413,\phi(2.25)=0.9878$]

解:$\mu=1.5,\sigma=\sqrt{4}=2$

(1)$P(1.5<X<3.5)=\phi(\frac{3.5-1.5}{2}-\phi \frac{1.5-1.5}{2})=\phi(1)-\phi(0)=0.3413$

(2)$P(X<3.5)=\phi(\frac{3.5-1.5}{2})=\phi(1)=0.8413$

6.正态分布图像

符号:$N(\mu,\sigma ^2)$

①图像关于u对称

②面积表示概率,总面积为1

③o越小,图像越陡

五、离散型二维变量与连续性二维变量(上)

1.已知二维离散型分布律,求???

已知二维随机变量X,Y的分布律如下表

X\Y 1 2 3
0 0.2 0.1 0.1
1 0.3 0.2 0.1

求:

(1)P(X=0),P(Y=2)

(2)P(X<1,Y≤2)

(3)P(X+Y=2)

(4)X,Y的分布律

(5)Z=X+Y的分布律

解:

(1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4

P(Y=2)=0.1+0.2=0.3

(2)P(X<1,Y≤2)=0.2+0.1=0.3

(3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4

(4)

X 0 1
P 0.4 0.6
Y 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2

(5)

P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2

P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4

P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3

P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1

Z 1 2 3 4
P 0.2 0.4 0.3 0.1

2.已知二维离散型分布律,判断独立性

如果任意$x_i$,$y_i$均满足P(X=$x_i$,Y=$y_i$)=$P(X=x_i)\cdot P(Y=y_i)$
那么X、Y相互独立,否则X、Y不相互独立

1.已知二维随机变量X、Y的分布律如下,请判断X、Y的独立性

X\Y 1 2 3
0 0.2 0.1 0.1
1 0.3 0.2 0.1

解:

P(X=0,Y=3)=0.1

P(X=0)·P(Y=3)=0.4*0.2=0.08

P(X=0,Y=3) $\neq$ P(X=0)·P(Y=3)

$\therefore$X、Y不相互独立

2.已知二维随机变量X、Y的分布律如下,X、Y是相互独立的,求a、β的值

X\Y 1 2 3
1 $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{18}$
2 $\frac{1}{3}$ $\alpha$ $\beta$

P(X=1,Y=2)=P(X=1)-P(Y=2)

$\frac{1}{9}=\frac{1}{3} \times (\frac{1}{9}+\alpha) \to \alpha=\frac{2}{9}$

P(X=1,Y=3)=P(X=1)·P(Y=3)

$\frac{1}{18}=\frac{1}{3} \times (\frac{1}{18} + \beta) \to \beta=\frac{1}{9}$

$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}+\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=1$

3.已知$F(x,y)$,求$f(x,y)$

$$f(x,y)=\frac{\partial ^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}$$

已知二维随机变量的联合分布函数

$F(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{2} x^2y+\frac{1}{2}xy^2 &0<x<1,0<y<1 \ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2 &1\leqslant x,0<y<1 \ \frac{1}{2} x^2 +\frac{1}{2}x &0<x<1,1 \leqslant y \1 &1\leqslant x,1\leqslant y \0 &其他 \end{cases}$,求f(x,y)

解:

①当$0<x<1,0<y<1$时,$f(x,y)=\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2)} {\partial x }]}{\partial y }=\frac{\partial(xy+\frac{1}{2}y^2)}{\partial y }=x+y$

②当$1\leqslant x,0<y<1$时,

$f(x,y)=\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2)} {\partial x }]}{\partial y }=\frac{\partial 0}{\partial y}=0$

③当$0<x<1,y>1$时,

$f(x,y)=\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x)} {\partial x }]}{\partial y }=\frac{\partial (x+\frac{1}{2})}{\partial y }=0$

④当$1\leqslant x,1\leqslant y$时,

$f(x,y)=\frac{a^2(1)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial(1)}{\partial x}]}{\partial y}=\frac{\partial (0)}{\partial y}=0$

⑤当x、y属于其他情况时,

$f(x,y)=\frac{\partial ^2 (0)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial (0)}{\partial x}]}{\partial y}=\frac{\partial(0)}{\partial y}=0$

综上所述,

$f(x,y)=\begin{cases} x+y &0<x<1,0<y<1 \ 0 &其他 \end{cases}$

4.已知$f(x,y)$,求$F(x,y)$

(1)已知二维随机变量的联合密度函数

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{21}{4}x^2y,&x^2 \leqslant y \leqslant 1 \ 0,&其他 \end{cases}$,求$F(x,y)$

解:

第一步:找出f(x,y)不等于零时x的范围和y的范围

x的范围:$x^2 \leqslant y \to -\sqrt{y} \leqslant x \leqslant \sqrt{y}$

y的范围:$x^2 \leqslant y \leqslant 1$

第二步:计算$\int ^x {g_1(y)}du \int ^y{h_1(u) }f(u,v) dv$,结果记为①

$g_1(y)$为x的左边界

$h_1(u)$为将y的下边界中的x替换为u后的式子

$f(u,v)$为将$f(x,y)$中的x替换为u、y替换为v后的式子

$g_1(y) = - \sqrt{y}$,$h_1(u) = u^2$,$f(u,v) = \frac{21}{4} u^2 v$

$① = \int ^x {- \sqrt{y}}du \int ^y{u^2} \frac{21}{4} u^2 v dv =\frac{7}{8}x^3y^2 -\frac{3}{8}x^7 +\frac{1}{2}y^{\frac{7}{2}}$

第三步:将$x=g_2(y)$、$y=h_2(x)$分别代入①中,结果分别记为②、③

$g_2(y)$为x的右边界

$h_2(x)$为y的上边界

$g_2(y) = \sqrt{y}$

将$x = \sqrt{y}$代入①中,则

$② = \frac{7}{8}(\sqrt{y})^3y^2 - \frac{3}{8}(\sqrt{y})^7 + \frac{1}{2}y^{\frac{7}{2}}$

$②=y^{\frac{7}{2}}$

$h_2(x)=1$

将$y=1$代入①中,则

$③ = \frac{7}{8}x^3 \cdot 1^2 - \frac{3}{8}x^7 + \frac{1}{2} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$

$③ = \frac{7}{8}x^3 - \frac{3}{8}x^7 + \frac{1}{2} $

第四步:画出f(x,y)不等于零的区域,记为区域A

A右侧的区域记为B

A上侧的区域记为C

A右上方的区域记为D

则$F(x,y)=\begin{cases}①&A区域 \ ② &B区域 \③&C区域 \ 1 & D区域 \0 & 其他 \end{cases}$

$F(x,y)=\begin{cases} \frac{7}{8}x^3y^2 -\frac{3}{8}x^7 +\frac{1}{2}y^{\frac{7}{2}}&x^2 \leqslant y \leqslant 1 \ y^{\frac{7}{2}} &x> \sqrt{y} ,0 \leqslant y \leqslant 1 \ \frac{7}{8}x^3 -\frac{3}{8}x^7 +\frac{1}{2}&-1 \leqslant x \leqslant 1,y>1 \ 1 & x>1,y>1 \0 & 其他 \end{cases}$

(2)已知二维随机变量的联合密度函数

$f(x,y) = \begin{cases} x+y &0<x<1,0<y<1 \0&其他 \end{cases}$,求$F(x,y)$

x的范围:0<x<1,y的范围:0<y<1

$ g_1(y)=0,h_1(u)=0,f(u,v)=u+v$

$①=\int ^x {0}du \int ^y{0 }(u+v) dv=\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2$

$g_2(y)=1$

将$x=1$代入①中,则

$②=\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot y + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot y^2$

$②=\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} y^2$

$h_2(x)=1$

将$y=1$代入①中,则

$③=\frac{1}{2} x^2 \cdot 1 + \frac{1}{2} x \cdot 1^2$

$③=\frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2} x $

$F(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2&0<x<1,0<y<1 \ \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} y^2 &1 \leqslant x,0<y<1 \ \frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2} x&0<x<1,1 \leqslant y \ 1 & 1 \leqslant x,1 \leqslant y \0 & 其他 \end{cases}$

5.已知$F(x,y)求P$

$$P(X \leqslant x_0,Y \leqslant y_0)=F(x_0,y_0)$$

已知二维随机变量的联合分布函数$F(x,y) =\begin{cases} \frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2 &0<x<1,0<y<1 \\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2 &1 \leqslant x,0<y<1 \\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x &0<x<1,1 \leqslant y \1 & 1 \leqslant x,1 \leqslant y \0&其他\end{cases}$

(1)求$P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})$

解:

$F(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^2=\frac{1}{8}$

$\therefore P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})=\frac{1}{8}$

(2)求$P(X \leqslant \frac{1}{2},Y >\frac{1}{2})$

$\because P(X \leqslant \frac{1}{2})=P(X \leqslant \frac{1}{2},Y >\frac{1}{2})+P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})$

$\therefore P(X \leqslant \frac{1}{2},Y >\frac{1}{2})=P(X \leqslant \frac{1}{2}) - P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})=P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant +\infty) - P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})=F(\frac{1}{2},\infty)-F(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{3}{8}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$

6.已知$f(x,y)$求P

已知二维随机变量的联合密度函数$f(x,y)=\begin{cases}6xy&0 \leqslant x \leqslant 1,x^2 \leqslant y \leqslant 1 \ 0,其他 \end{cases}$,求$P(X \ge Y)$

第一步:找出f(xy)不等于零时x的范围和y的范围

x的范围:0≤x≤1

y的范围:$x^2 \leqslant y \leqslant 1$

第二步:找出要求概率的范围,添到上一步的范围里(要保证至少有一个未知数的上下限都是纯数字)

$P(X \ge Y)→P(Y \leqslant X)$

x的范围:0≤x≤1,$(0 \to a,1 \to b$

y的范图:$\begin{cases} x^2 \le y \le 1\\ y \le x \end{cases} \to x^2 \le y \le x,(x^2 \to c,x \to d)$

第三步:如果x的上下限都是纯数字则$P=\int ^b _a dx \int ^d _c f(x,y)dy$,如果y的上下限都是纯数字则$P=\int ^d _c dy \int ^b _a f(x,y)dx$

$P(X \ge Y) = \int ^1_0 dx int ^x _{x^2} 6xy dy =\frac{1}{4}$

7.求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数

$$F(+\infty,-\infty)=1$$

$$F(-\infty,-\infty)=0$$

$$F(x,-\infty)=0$$

$$F(-\infty,y)=0$$

$$\int ^{+\infty} _{-\infty} \int ^{+\infty} _{-\infty} f(x,y)dxdy=1$$

(1)设二维随机变量的联合分布函数为F(x,y)=a(b+arctanx)(c+arctan2y),求a、b、c

解:

解得:$a=\frac{1}{\pi ^2},b=\frac{\pi}{2},c=\frac{\pi}{2}$

(2)设二维随机变量的联合密度函数$f(x,y)=\begin{cases}kxy &0 \le x \le 1,x^2 \le y \le 1 \ 0&其他 \end{cases}$,求k

解:由$\int ^{+\infty} _{-\infty} \int ^{+\infty} _{-\infty} f(x,y)dxdy=1$得:

$\int ^1_0 \int ^1 _{x^2} kxydxdy=1$

解得:k=6

8.求均匀分布的f(x,y)与P

$$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{A} &当(x,y)\in D(A为区域D的面积) \ 0 &其他 \end{cases}$$

设二维随机变量(x,y)在区域$D={(x,y)lx≥0,y≥0,x+y≤1}​$上服从均匀分布求密度函数$f(x,y),P(X+Y \le \frac{1}{2})​$

$A=\frac{1}{2} \times 1 \times 1= \frac{1}{2}$

$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{\frac{1}{2}} &当(x,y)\in D \ 0 &其他 \end{cases} \to \begin{cases}2&当(x,y)\in D \ 0 &其他 \end{cases}$

$A_1=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

$P(X+Y \le \frac{1}{2})=\frac{A_1}{A}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$

六、连续型二维变量(下)

$$F_X(x)=F(x, + \infty)$$

$$F_Y(y)=F(+ \infty,y)$$

1.求边缘分布函数

设随机变量(X,Y)的分布函数为$F(x,y)=\frac{1}{\pi ^2}(\frac{\pi}{2} + \arctan x)(\frac{\pi}{2} + \arctan 2y)$,求边缘分布函数$F_X(x),F_Y(y)$

$F_X(x)=F(x, + \infty)=\frac{1}{\pi ^2}(\frac{\pi}{2} + \arctan x)(\frac{\pi}{2} + \arctan (+ \infty))=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \arctan x$

$F_Y(y)=F(+ \infty,y)=\frac{1}{\pi ^2}(\frac{\pi}{2} + \arctan (+ \infty))(\frac{\pi}{2} + \arctan 2y)$

2.求边缘密度函数

设二维随机变量的联合密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}6xy &0\le x \le 1,x^2 \le y \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $

解:

第一步:将f(x,y)非零的区域画在坐标系上

第二步:表示出左边界$x=g_1(y)$、右边界$x=g_2(y)$、上边界$y=h_1(x)$、下边界$y=h_2(x)$

$x=0$

$x=\sqrt{y}$

$y=1$

$y=x^2$

第三步:$f_X(x) = \int ^{h_1(x)} _{h_2(x)} f(x,y) dy,f_Y(y) = \int ^{g_2(y)} _{g_1(y)} f(x,y) dx$

$f_X(x) = \int ^1 _{x^2} 6xy dy = 3x-3x^5$

$f_Y(y) = \int ^{\sqrt{y}} _{0} 6xy dx = 3y^2$

$\therefore $

$f_X(x)=\begin{cases} 3x-3x^5 &0\le x \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $

$f_Y(y)=\begin{cases}3y^2 &0\le y \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $

3.判断连续型二维变量的独立性

$$F(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)(X、Y相互独立)$$

$$F(x,y) \neq =F_X(x) \cdot F_Y(y)(X、Y相互不独立)$$

$$f(x,y)=f_X(x) \cdot f_Y(y)(X、Y相互独立)$$

$$f(x,y) \neq =f_X(x) \cdot f_Y(y)(X、Y相互不独立)$$

设二维随机变量的联合密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}6xy &0\le x \le 1,x^2 \le y \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $,判断$f(x,y)$的独立性

$f_X(x)=\begin{cases} 3x-3x^5 &0\le x \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $

$f_Y(y)=\begin{cases}3y^2 &0\le y \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $

$f_X(x) \cdot f_Y(y) = (3x-3x^5) \cdot 3y^2=9xy^2-9x^5y^2 \neq f(x,y)$

$\therefore X、Y相互不独立$

4.已知$f(x,y),Z=X+Y$,求$f_Z(z)$

$$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} f(x,z-x)dx$$

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为$f(x,y) = \begin{cases} 2-x-y &0< x<1,0< y<1 \ 0 &其他 \end{cases} $,求Z=X+Y的密度函数$f_Z(z)$

解:

$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} f(x,z-x)dx$

$f(x,y) = \begin{cases} 2-z &0< x<1,z-1< x<z \ 0 &其他 \end{cases} $

当$z \le 0$时,$f(x,z-x)=0$

$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} f(x,z-x)dx = f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} 0dx = 0$

当$0< z \le 1$时,$f(x,x-z)=\begin{cases} 2-z &0<x<z \ 0 &其他 \end{cases} $

$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} f(x,z-x)dx = \int ^z _0 (2-z)dx = z(2-z)$

当$1 \le z \le 2$时,$f(x,z-x) = \begin{cases} 2-z & z-1< x <1 \ 0 &其他 \end{cases} $

$f_Z(z)=\int ^{1} _{z-1} (2-x)dx = (2-z)^2$

当$z>2$时,$f(x,z-x)=0$

$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} 0dx =0$

综上所述,

$f_Z(z)= \begin{cases} z(2-z) & 0< z \le 1 \ (2-z)^2 &1 < z \le 2 \ 0 &其他 \end{cases} $

5.已知$f(x,y),Z=\frac{X}{Y}$,求$f_Z(z)$

$$f_Z(z)= \int ^{+ \infty} _{- \infty} f(yz,y) \cdot |y|dy$$

$f_Z(z)=\begin{cases} 0 &z \le 0 \ \frac{1}{2} &0< z \le 1 \ \frac{1}{2x^2} &z >1 \end{cases} $

6.已知$f(x,y)$,且$X,Y$相互独立,$Z=max(X,Y)$,求$F_Z(z)$

$$F_Z(z) = F_X(z) \cdot F_Y(z)$$

设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为$x^3+2x$,求Z=max(X,Y)的分布函数。

$F_X(x)=x^3+2x$

$\therefore F_X(z)=z^3+2z$

$\because X,Y同分布$

$\therefore F_Y(y)=y^3+2y$

$\therefore F_Y(z)=z^3+2z$

$\therefore F_Z(z)=F_X(z) \cdot F_Y(z)=(z^3+2z) \cdot (z^3+2z)$

7.已知f(x,y),且X,Y相互独立,z=min(X,Y),求$F_Z(z)$

设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为$x^3+2x$,求Z=min(X,Y)的分布函数。

$F_X(x)=x^3+2x$

$\therefore F_X(z)=z^3+2z$

$\because X,Y同分布$

$\therefore F_Y(y)=y^3+2y$

$\therefore F_Y(z)=z^3+2z$

$\therefore F_Z(z)=1-[1-(z^3+2z)] \cdot [1-(z^3+2z)]$

七、随机变量的数字特征(上)

1.求离散型的期望E(X)

$$E(X)=\sum x_i p_i$$

已知一个工厂一周获利10万元的概率为0.2,获利5万元的概率为0.3,亏损2万元的概率为0.5,该工厂一周内利润的期望是多少?

X 10 5 -2
P 0.2 0.3 0.5

E(X)=$\sum x_i p_i$=10×0.2+5×0.3+(-2)×0.5=2.5(万元)

2.求连续型的期望E(X)

$$E(X) = \int ^{+ \infty} _{-\infty} xf(x)dx$$

设随机变量X的密度函数为$f(x)=\begin{cases} 0 & x < 0 \ 4x^3 &0 \le x le 1 \ 0 & x> 1 \end{cases} $,则E(X)=?

$E(X) = \int ^{+ \infty} _{-\infty} xf(x)dx= \int ^{0} _{-\infty} x \cdot 0dx + \int ^{1} _{0} x\cdot 4x^3 dx + \int ^{+ \infty} _{1} x \cdot 0dx=0+\frac{4}{5}+0=\frac{4}{5}$

3.已知Y=g(x),求E(Y)

$$离散型E(Y)=\sum g(x_i)p_i$$

$$连续型E(Y)=\int ^{+\infty} _{- \infty} g(x) \cdot f(x) dx$$

(1)已知随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.3 0.4

求Y=2X-1的期望

解:

$E(Y)=\sum g(x_i)p_i=\sum (2x_i - 1) p_i=3$

(2)设随机变量X的密度函数为$f(x) = \begin{cases}0 &x<0 \ 4x^3 &0 \le x \le 1 \ 0 & x>1 \end{cases} $,$Y=X^2$,求E(Y)

$E(Y)=\int ^{+\infty} _{- \infty} g(x) \cdot f(x) dx =\int ^{+\infty} _{- \infty} x^2 \cdot f(x) dx = \int ^{0} _{- \infty} x^2 \cdot 0 dx + \int ^{1} _{0} x^2 \cdot 4x^3 dx + \int ^{+\infty} _{1} x^2 \cdot 0 dx = 0+\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}$

4.求方差D(X)

$$D(X)=\sum [x_i - E(X)] ^2 \cdot p_i \to 离散型$$

$$D(X)=E(X^2) - E^2(X) \to 连续型 \离散型$$

(1)已知随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.3 0.4

求D(X)

解:

方法一:

E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2

$D(X) = \sum [x_i - E(X)] ^2 \cdot p_i=(0-2)^2·0.1+(1-2)^2·0.2+(2-2)^2.0.3+(3-2)^2·0.4=1$

方法二:

$X^2$ 0 1 4 9
P 0.1 0.2 0.3 0.4

$E(X^2)$=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4=5

E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2

$D(X)=E(X^2) - E^2(X)=5-2^2=1$

(2)设随机变量X的密度函数为$f(x) = \begin{cases}0 &x<0 \ 4x^3 &0 \le x \le 1 \ 0 & x>1 \end{cases} $,$Y=X^2$,求D(X)

$D(X)=E(X^2) - E^2(X)=\frac{2}{3}-(\frac{4}{5})^2 = \frac{2}{75} $

5.根据E(X)、D(X)的性质进行复杂运算

6.E(X)、D(X)与各种分布的综合题

八、随机变量的数字特征(下)与中心极限定理

1.Cov,$\rho _{xy}$,D相关类题目

已知A=2X+Y,B=2X-Y,X与Y相互独立,D(X)=D(Y)=1,试求Cov(A,B)。

Cov(A,B)=Cov(2X+Y,2X-Y)

=Cov(2X,2X-Y)+Cov(Y,2X-Y)

=Cov(2X,2X)-Cov(2X,Y)+Cov(Y,2X)-Cov(Y,Y)

=4Cov(X,X)-2Cov(X,Y)+2Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)

=4Cov(X,X)-0+0-Cov(YY)

=4D(X)-0+0-D(Y)

=4-1=3

已知D(X)=1,D(Y)=4,$\rho_{xy}=-0.5$,试求D(X+Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

=1+4+2Cov(X,Y)

=5+2Cov(X,Y)

=5+2$\cdot \rho _{xy} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}$

=5+2$\cdot (-0.5) \cdot \sqrt{1} \cdot \sqrt{4}

=3

2.利用切比雪夫不等式求概率

$$P[|X-E(X)| \ge \varepsilon ] \le \frac{D(X)}{\varepsilon ^2} (\varepsilon为任意正数)$$

3.多项独立同分布,求总和怎样的概率

(1)某商店出售一种商品,该商品周销量的期望是1,方差是1,假设各周的销量是相互独立的,求该商品的年销量(1年=52周)在50件到70件之间的概率。(结果用$\phi (X)$表示)

共52项(n=52),总销量为Y

E(X)=1,D(X)=1

$\therefore P(50 \le Y \le)=\phi (\frac{70-52 \times 1}{\sqrt{52 \times 1}})-\phi (\frac{52-52 \times 1}{\sqrt{52 \times 1}}) = \phi (2.5)-\phi (-0.28)$

(2)一个工厂每箱产品的质量独立同分布,假设每箱平均重50kg,标准差为5kg。若用最大载重量5000kg的汽车承运,那么每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977?($\phi$(2)=0.977)

九、矩估计

1.求某一未知参数的距估计

①写出E(X)与待求未知数的关系

②将①的结果整理成未知数=?E(X)的形式

③根据给出的样本,算出实际的E(X)

④求出未知数

例1:设一大批产品的合格率是P,每次从中随机抽取出10件进行检验,用xi表示第i次抽出的10件产品中次品的个数,则可以认为x1,X2..…,xn独立同分布,总体分布是二项分布B(10,P),求P的矩估计。

解:

①E(X)=nP=10P

②E(X)=nP $\to P=\frac{E(X)}{10}$

③E(X)=$\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$

④$\widehat{P}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{10n}$

例2:设x1,X2…,Xn为总体的一个样本,X1,X2.…,Xn为相应的样本值,求下述总体的概率密度中的未知参数的矩估计。

2.求两个未知参数的矩估计

①写出E(X)与$E(X^2)=D(X)+E^2(X)$同待求未知数的关系

②将①的结果整理成未知数$=?E(X)+?E(X^2)$的形式

③根据给出的样本,算出实际的E(X)与$E(X^2)$

④求出未知数

例:设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知,X1,X2…,Xn是来自x的样本,试求a,b的矩估计量。

十、最大似然估计量

1.求出某离散型参数的最大似然估计量

①写出$P{X=X_1},P{X=x_2}.…,P{X=Xn}$

②依次对①的结果取In

③依次对②的结果求导

④令③中结果之和为0,求出未知数

离散型分布 P
二项分布B(n,P) $P(X=d)=C^d_n(1-P)^{n-d}$
泊松分布$P(\lambda)$ $P(X=d)=\frac{\lambda ^d}{d!}e^{-\lambda}$

例1:设X具有分布律

X 1 2 3
$P_K$ $\theta ^2$ $2\theta (1-\theta)$ $(1-\theta)^2$

其中$\theta(0<\theta<1)$为未知参数,已知取得了样本值X1=1,x2=2,x3=1,求$\theta$的最大似然估计值。

2.求出某连续型参数的最大似然估计量

①写出f(X1),f(X2)..…,f(xn)

②依次对①的结果取ln

③依次对②的结果求导

④令③中结果之和为0,求出未知数

连续型分布 f(x)
均匀分布 $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a\le x \le b \ 0 &其他 \end{cases} $
指数分布 $f(x)=\begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} \ 0 &x \le 0 \end{cases}$
正态分布 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} e ^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}$

十一、区间估计

十二、假设检验1

判断单项参数与某数值关系

十三、假设检验2

判断两项参数间的关系

十四、假设检验3

1.对于成对数据的检验

2.P值检验

十五、方差分析

十六、一元线性回归

1.求一元线性回归模型系数

2.对一元线性回归模型的方差进行估计

3.在一元线性回归模型中检验回归效果显著性

4.在一元线性回归模型中求系数b的置信区间

5.Y约为x的指数函数时,求Y关于x的回归方程

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